分解不唯一
系统整体效率虽唯一确定，但乘数模型往往存在多重最优解，阶段效率分解值不具备唯一性，系统效率与节点效率之间的代数映射并不稳定。
MaxDEA X · 2026 新模型发布
新型两阶段网络DEA
新型两阶段网络DEA
与广义网络DEA
打开效率评价的“黑箱”。以中间流虚拟价值守恒取代价格刚性相等，让系统效率分解天然唯一，让每个阶段的效率值回归其独立生产可能集（PPS）下的真实技术效率。
E* = E⁽¹⁾* × E⁽²⁾*
系统整体效率 = 两阶段唯一效率值之乘积
CRS 与 VRS串并联 / 任意拓扑无损协同判定 D*FDEF 仿射包前沿
图 1 两阶段网络 DEA：柔性协同与唯一的乘积效率分解
01 · THE PROBLEM
网络 DEA 长期未解的痛点
传统 DEA 把决策单元（DMU）视为内部结构不可见的“黑箱”。两阶段与广义网络 DEA 虽然打开了黑箱、刻画了中间流（Intermediates）在系统内部的流转，却长期受制于乘数模型的多重最优解。
阶段效率失真
刚性协同下分解出的阶段效率，不一定是各阶段在自身 PPS 下的真实技术效率：E⁽¹⁾ ≤ E⁽¹⁾*，E⁽²⁾ ≤ E⁽²⁾*。
人为“锁定”结果
既往研究多依赖人为设定二次目标、引入主观偏好权重，或构建主从博弈模型来强行固定分解结果，带来额外假设与主观性。
不唯一的分解，还为节点效率值的进一步分析设置了障碍，例如节点层面的 TFP 指数（Malmquist / HMB）分析与跨期比较。
02 · THE BREAKTHROUGH
柔性协同：中间流虚拟价值守恒
MaxDEA 团队放弃“每项中间流价格必须一对一相等”的强外生约束，改为只要求被评价 DMU 的所有中间流在系统内部流转时总价值相等。正是这一项核心改变，同时实现了系统效率的唯一分解，并使分解出的阶段效率与阶段独立技术效率保持一致。
| 比较维度 | 刚性协同 Rigid Synergy | 柔性协同 Flexible SynergyMAXDEA 新模型 |
|---|---|---|
| 乘数模型 | 价格一对一相等 w⁽¹⁾ = w⁽²⁾ 等于为中间产品设定了跨阶段统一的“外生市场价格” | 总价值守恒 w⁽¹⁾·z0 = w⁽²⁾·z0 中间流影子价格在系统内部依经典 DEA 最优化原则确定 |
| 包络模型 | 每项中间流独立自由缩放；径向与非径向混杂，投影偏离经典技术改进路径 | 中间流径向缩放 Z·λ⁽¹⁾ ≥ z0·τ ≥ Z·λ⁽²⁾ 完整保留经典径向等比例改进路径 |
| 分解结果 | 阶段效率被刚性约束扭曲；效率分解不唯一 | 系统效率唯一分解；阶段效率即各自独立 PPS 下的技术效率 |
注：当网络中只有一项中间流时，两种协同方式等价（w⁽¹⁾·z0 = w⁽²⁾·z0 ⟺ w⁽¹⁾ = w⁽²⁾）。
影子价格与生产函数视角
两个阶段属于不同的生产技术，中间流的边际替代率（MRS）并不相同。强行要求影子价格一一相等，相当于用统一的线性切面去拟合两个独立的凸集前沿，必然使拟合前沿偏离，阶段效率因此被扭曲。柔性协同让 w⁽¹⁾ 与 w⁽²⁾ 获得独立自由度，分别精确匹配各自最优前沿面的法向量（局部最佳影子价格）。
加权虚拟投入产出视角
中间流具有双重身份：既是阶段 1 的虚拟产出，又是阶段 2 的虚拟投入。柔性协同解除了过度约束，仅要求中间产品在交界处的虚拟聚合价值相等——既不凭空产生，也不无故消灭，完美契合中间产品仅存在于网络内部、不产生外部性的闭环特征，同时保留各阶段完全的寻优自由度。
03 · WHY IT MATTERS
四项可验证的核心优势
唯一性等式
系统效率与两阶段效率天然满足唯一等式关系，无需任何附加条件；附录给出严格的上界与下界证明。
E* = E⁽¹⁾* × E⁽²⁾*
真实的阶段效率
分解得出的阶段效率，就是该阶段在独立 PPS 下的技术效率，可直接用于节点级 TFP 指数等后续分析。
E⁽ᵗ⁾ = E⁽ᵗ⁾*
经典改进路径
完全采用经典的径向等比例技术改进路径，完整保留经典 DEA 的对偶乘数模型经济学意义。
Z·λ⁽¹⁾ ≥ z0·τ ≥ Z·λ⁽²⁾
无需主观设定
不必人为设定二次目标、偏好权重或主从博弈，结果由模型本身唯一确定、可复现。
无需人为“锁定”
04 · SERIAL EFFECT
为什么两阶段网络模型的系统效率分解必须取乘积形式
乘性结构避免了高效率阶段对低效率阶段的过度替代补偿。“两个阶段都不能落后”是串联系统的必然要求——任一子阶段的低效率，都会以乘法形式拉低系统整体效率。
示例 · A、B 两家公司用相同原料生产相同产品
| 公司 | 阶段 1 效率 | 阶段 2 效率 | 系统效率 |
|---|---|---|---|
| A 公司（基准） | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| B 公司 | 0.10 | 0.90 | 0.10 × 0.90 = 0.09 |
0.09乘积形式 · 正确的串联效应
0.5算术平均 · 明显高估
B 公司在第一阶段用 100 件原料仅产出 10 件中间产品（相对 A 的效率 0.1）；第二阶段用这 10 件中间产品产出 9 件最终产品（相对 A 的效率 0.9）。乘积形式正确反映了串联连锁效应：整体效率是 0.09，而不是算术平均给出的 0.5。
05 · MODEL FAMILY
从两阶段到任意拓扑的完整模型体系
9.1 · CRS
两阶段网络 DEA（规模报酬不变）
在 Kao & Hwang (2008)、Liang, Cook & Zhu (2008) 开创的乘积效率分解框架基础上，以“中间流虚拟价值守恒”重构模型；借助 Charnes-Cooper 变换得到线性规划，附录给出 E* = E⁽¹⁾* × E⁽²⁾* 的严格证明。
- 乘数模型与对偶包络模型
- 投入导向 / 产出导向
- 分解唯一且等于独立效率之积
9.2 · VRS
两阶段网络 DEA（规模报酬可变）
引入规模报酬常数项 u0⁽ᵗ⁾，分别给出投入导向（截距归入产出端）与产出导向（截距归入投入端）的完整模型，效率分解同样满足唯一的乘积关系。
- 投入导向：截距归入产出端
- 产出导向：截距归入投入端
- 与 CRS 模型原理一致的乘积分解
9.3 · GENERAL
广义网络 DEA
覆盖多节点、串联、并联及任意拓扑结构。目标函数为分式之和，属于非线性规划且需允许节点权重等比例放大，无法用 Charnes-Cooper 变换线性化，因此采用 Dinkelbach 参数化方法求解；先求各节点独立模型的最优效率 E⁽ᵗ⁾*，再以 D* 判定协同是否无损。
- D* = 0：无损协同，节点效率唯一且等于独立效率
- D* < 0：有损协同，节点效率值不唯一
- 系统效率取幂乘积形式 E* = Π(E⁽ᵗ⁾*)^ω⁽ᵗ⁾
图 2 串并联混合网络的节点权重示例：先按串联关系为节点赋初始权重 1，两个并联分支内部节点的权重再除以 2。ω⁽ᵗ⁾=1 时为乘积（串联），Σω⁽ᵗ⁾=1 时为几何平均（并联）。
节点权重 ω⁽ᵗ⁾ 决定系统效率的聚合方式
乘积形式适用于串联结构，几何平均适用于并联结构；实证研究中还可结合各节点对系统的重要程度确定最终权重。
乘积形式适用于串联结构，几何平均适用于并联结构；实证研究中还可结合各节点对系统的重要程度确定最终权重。
9.4 · FDEF
基于全维有效面（FDEF）的广义网络 DEA
把权重限定为来自各阶段 FDEF 超平面集合。由于所有权重严格大于 0，可彻底消除投入、产出及中间流松弛，使中间流在两端的投影值完全相等；只需满足一个简单充分条件（网络中同时存在“只生产不消耗中间流”与“只消耗不生产中间流”的节点）即可实现无损协同与唯一分解。
- 消除零权重问题与全部松弛
- 边际替代率有限、非零且有确定经济含义
- 两阶段模型天然满足无损协同条件
图 9-1 松弛处理方法示意图（两项投入、一项产出的 CRS 模型）：A₂ 是基于 FDEF 仿射包的径向投影点，比非径向模型给出的 C 更合理。
06 · IN MAXDEA X
在 MaxDEA X 中开箱即用
以上模型已集成于 MaxDEA X 13.0，并可与全部面板数据模型自由组合。四步完成设置，结果直接输出。
1
定义数据
把节点之间流转的变量类型设为 Intermediate（中间流），其余按投入、产出、DMU 名称等常规定义。
2
设置常规选项
选择生产函数类型（经典前沿生产函数或 FDEF 仿射包前沿生产函数）、模型导向与规模报酬。
3
选择网络模型
在“高级模型”中勾选“两阶段网络DEA”或“广义网络DEA”；可与 Malmquist TFP 指数、HMB TFP 指数、窗口 DEA、Carry-Over DEA 等面板数据模型组合。
4
定义网络结构
广义网络 DEA 需定义节点、各指标归属节点以及中间流的“两个 Owner”并 Validate。节点初始权重 ω⁽ᵗ⁾=1（系统效率为乘积）；若需几何平均，令 Σω⁽ᵗ⁾=1。
点击截图可放大查看
输出结果
系统整体效率值、投入产出与中间流的权重及投影值（目标值）、节点效率值、节点参考标杆及其系数 λ；VRS 模型还包括规模报酬常数项 u₀⁽ᵗ⁾，广义网络模型还包括 D*（用于判断节点效率值是否具有唯一性）。
07 · CITE & RESOURCES
引用与资源
英文引文格式
MaxDEA Team. (2026-10-26). Innovative Two-Stage and Generalized Network DEA. MaxDEA. https://maxdea.com/2026/202609.pdf.
中文引文格式
MaxDEA团队. 新型两阶段网络DEA和广义网络DEA [EB/OL]. (2026-10-26) [YYYY-MM-DD]. https://maxdea.com/2026/202609.pdf. [YYYY-MM-DD]为引用日期。
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完整技术白皮书（PDF · 43 页）
包含全部模型定义、对偶推导、CRS 两阶段网络 DEA 效率乘积分解证明、符号与数据说明、软件操作演示及参考文献，中英双语。
主要参考文献
- Kao, C., & Hwang, S.-N. (2008). Efficiency decomposition in two-stage data envelopment analysis. European Journal of Operational Research, 185(1), 418–429.
- Liang, L., Cook, W. D., & Zhu, J. (2008). DEA models for two-stage processes: Game approach and efficiency decomposition. Naval Research Logistics, 55(7), 643–653.
- Olesen, O. B., & Petersen, N. C. (1996). Indicators of ill-conditioned data sets and model misspecification in DEA. Management Science, 42(2), 205–219.
- Olesen, O. B., & Petersen, N. C. (2003). Identification and use of efficient faces and facets in DEA. Journal of Productivity Analysis, 20(3), 323–360.
- Olyaie, M. D., Roshdi, I., Jahanshahloo, G., & Asgharian, M. (2014). Characterizing and finding full dimensional efficient facets in DEA. JORS, 65(9), 1453–1464.
让网络效率分解回归唯一与真实
MaxDEA X 13.0 已全面支持新型两阶段网络DEA、广义网络DEA 与基于 FDEF 的广义网络DEA，原生跨平台运行于 Windows、macOS 与 Linux。